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Les similitudes directes dans le plan vectoriel permettent de comprendre les nombres complexes. Ces nombres complètent parfaitement les nombres réels en assurant que tout polynome de degré n , possède n racines réelles ou complexes. En s'inspirant de cette construction ,il est naturel de tenter la construction d'une multiplication et d'une addition à partir des similitudes vectorielles de l'espace à trois dimensions. La multiplication de cette structure a un modèle évident : la composition des similitudes.
Et c''est en utilisant ces classes de trajets, et en abandonnant l'aspect fonctionnel et en mettant l'accent sur l'aspect "trajectoires", que l'on réussit à construire une addition naturelle tout en conservant la multiplication induite par des similitudes. La définition axiomatique des quaternions, donnée habituellement, ne suffit pas à nourrir l'imagination du néophyte. Construits comme des éléments d'un espace vectoriel de dimensions 4, ils sont présentés comme des abstractions pures. Or les quaternions s
extrait de la Préface aux ÉL ÉMENTS DE G É OM É TRIE de CLAIRAUT parus en 1741